ybw的个人笔记

记录一下ybw个人的学习高等代数的过程，不一定具有参考价值，且写的很简略

使用教材：丘维声《高等代数》（上、下册）2019清华大学出版社

笔记从线性空间开始，顺序按照丘维声的网课。这里边记录的是ybw觉得重要的一些知识点

公式测试：

Chapter 8 线性空间

8.1 域F上的线性空间和维数

  1. 向量集的线性相关和线性无关性

    如果向量集是有限集 与向量组相同

    如果是无限集 那么

    线性相关：有一个有限子集线性相关

    线性无关：任意有限子集线性无关

  2. 定理： 任意域上的任意线性空间都有一个基

    证明需要用到Zorn引理：

    Zorn引理： 若一个偏序集的所有链都有上界，则有一个极大元素

    取偏序集，其中是线性无关的向量集 任取一条链，取

    我们要证明的就是为上界，即，即线性无关。反证法易得。

    则取极大元素，验证为的一个基即可（分和讨论）

  3. 维数的定义

    设是线性空间的一组基，则

    这也意味着，如果是一个无限集，那么，

8.2 子空间及其交与和，子空间的直和

子空间的交和并是不是子空间呢？

我们可以证明，交集是，而并集并不是。

并集并非子空间的一个很重要的原因便是对加法运算不封闭。因而，我们需要定义子空间的加法运算，使其和也是一个子空间

总结一下以上的想法：

定理：子空间的交集仍然是子空间

定义：子空间和的和为

定理：子空间的和仍然是子空间

我们有以下的一个结论：

设，，都是域上线性空间的子空间，则

定理（子空间维数公式）:

取的一组基，扩充，比较一下即可。